KI-System knackt Knotentheorem

In der Mathematik sind Computer zwar alltäglich, aber das Aufstellen neuer mathematischer Vermutungen oder Theoreme blieb dem Menschen vorbehalten – diese hohe Kunst der intuitiven Mathematik galt als nicht maschinenlernbar. Jetzt belehrt uns ein KI-System eines Besseren: Erst durch seine Mithilfe haben Mathematiker ein neues Theorem in der Knotentheorie und eine neue Vermutung in der Algebra entdeckt, wie Forscher im Fachmagazin „Nature“ berichten.

Ob Keplers Vermutung zur Kugelpackung, das Rätsel der Primzahlen-Zwillinge oder die Frage nach verschiedenen Unendlichkeiten: In der Mathematik geht es oft darum, allgemeingültige Muster und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen und mathematisch zu beweisen. Solange diese Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten noch nicht bewiesen sind, sprechen Mathematiker von Vermutungen, sind sie bewiesen, gelten sie als Theorem.

Die Rolle der Intuition

Während beim Rechnen oder der Analyse großer Zahlenmengen längst Computer helfen, gilt das Aufstellen neuer Vermutungen und Theoreme als Domäne menschlicher Intuition. Denn das Erkennen zuvor unerkannter Muster und Zusammenhänge lässt sich nicht programmieren und geschieht oft spontan. Bekanntestes Beispiel für solche intuitiven Geistesblitze war der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan, der unzählige bahnbrechende Vermutungen in der Zahlentheorie aufstellte – scheinbar aus dem Nichts.

„Die Intuition eines Mathematikers spielt eine enorm wichtige Rolle für mathematische Entdeckungen“, erklären Alex Davies vom Google-DeepMind-Forschungszentrum in in London und seine Kollegen. Doch was wäre, wenn es ein KI-System gäbe, das dieser mathematischen Intuition zuarbeitet und gewissermaßen das „Futter“ liefert? Wie dies funktionieren kann, hat das Team aus KI-Forschern und Mathematikern jetzt gezeigt.

Knotentheorie als Testfeld

Für die Studie nutzten zwei Mathematiker-Teams ein von DeepMind entwickeltes KI-System, um mathematische Hypothesen in zwei Themengebieten zu überprüfen. Ziel war es, neue Vermutungen oder Theoreme zu entwickeln. „Lernfähige Maschinen können interessante und beweisbare Vermutungen in Gebieten aufdecken, in denen es zu viele Daten oder zu umfangreiche Objekte gibt, um sie mit klassischen Methoden zu erforschen“, erklärt der Mathematiker Andras Juhasz von der University of Sydney.

Konkret setzt er die lernfähige KI ein, um eine Frage aus dem Bereich der Knotentheorie zu klären: „Unsere Hypothese war, dass es eine noch unentdeckte Beziehung zwischen den hyperbolischen und algebraischen Invarianten eines Knotens gibt“, erklärt Juhasz. Als Invarianten werden in diesem Fall die mathematischen Eigenschaften bezeichnet, die einen Knoten beschreiben und von anderen abgrenzen. Das Team trainierte das KI-System darauf, einen Satz geometrischer Invarianten daraufhin zu überprüfen, wo es mögliche Querverbindungen geben könnte.

Teamwork entwickelt neues Theorem

Tatsächlich wurde der DeepMind-Algorithmus fündig: Er identifizierte drei Invarianten, die auf eine Verbindung der algebraischen Signatur des Knotens und der geometrischen Beschreibung seiner Steigungen hindeuteten. Ausgehend von dieser Entdeckung konnte die Mathematiker dann eine neue Vermutung daraus ableiten und sogar direkt beweisen.

Aus dem Teamwork von KI und Mensch resultierte damit ein neues mathematisches Theorem. „Dieses Theorem ist eines der ersten, das algebraische und geometrische Invarianten von Knoten verknüpft. Dies hat vielfache, interessante Anwendungen“, erklären die Wissenschaftler. Die Knotentheorie spielt in vielen Fachgebieten eine Rolle, darunter in der Fluidynamik, beim Verhalten von DNA-Strängen oder dem Wechselspiel von Kräften in der Korona der Sonne.

„Es ist überraschend, dass eine so einfache und dennoch profunde Verknüpfung bisher übersehen wurde – und das in einem Gebiet, das intensiv erforscht worden ist“, schreiben Juhasz und sein Team.

Neue Vermutung in der Darstellungstheorie

Auch auf einem zweiten Gebiet der Mathematik, der Darstellungstheorie, hat sich die DeepMind-KI als Mathematiker bewährt. In diesem Bereich der linearen Algebra geht es um eine bestimmte Art, Elemente und Gruppen über Symmetrien im höherdimensionalen Raum abzubilden und zu beschreiben. „Um Vermutungen in meinem Fachgebiet aufzustellen oder zu beweisen, sind manchmal unendliche Räume und extrem komplexe Gleichungssätze über multiple Dimensionen hinweg nötig“, erklärt Geordie Williamson von der University of Sydney.

Mithilfe des KI-Systems gelang es Williamson und seinen Kollegen, eine seit 40 Jahren unvollendete Vermutung über die sogenannten Kazhdan-Lusztig-Polynome fertigzustellen. „Dies ist das erste Mal, dass eine KI ihre Nützlichkeit für einen rein theoretischen Mathematiker wie mich bewiesen hat“, sagt Williams. „Die Intuition kann uns zwar weit bringen, aber die KI kann uns dabei helfen, Verbindungen zu finden, die für den menschlichen Geist nicht immer leicht zu erkennen sind.“

Auch auf anderen Gebieten nützlich

Nach Ansicht des Forschungsteams belegen ersten Beispiele, dass das maschinelle Lernen selbst in hochkomplexen und abstrakten Fachgebieten wie der theoretischen Mathematik wertvolle Hilfe leisten kann. „Unsere Meinung nach sind KI-Systeme inzwischen weit genug entwickelt, um den wissenschaftlichen Fortschritt in vielen Fachgebieten zu beschleunigen“, sagt DeepMind-Forscher Davies. „Die reine Mathematik ist nur ein Beispiel dafür.“ (Nature, 2021; doi: 10.1038/s41586-021-04086-x)

Quelle: Nature, University of Sydney