Atome der Zahlenwelt

Primzahlen sind nur durch sich selbst und die 1 teilbar. © Podbregar

2, 3, 5, 7, 11, 13… – kommt ihnen diese Zahlenfolge bekannt vor? Höchstwahrscheinlich schon. Denn in der Schule lernen wir, dass diese Zahlen Primzahlen sind. Sie sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Auf den ersten Blick scheint dies nicht sonderlich aufregend. Doch das täuscht – diese Zahlen haben es in sich.

Unteilbare „Atome“

Die erste Besonderheit: Primzahlen sind die Atome der Zahlenwelt. Während sie selbst unteilbar sind, bilden sie die Grundbausteine für alle anderen Zahlen. Mathematiker teilen die Zahlenwelt daher in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen ein – die Atome und Moleküle des Zahlenstrangs. Denn: Jede Nicht-Primzahl lässt sich in Primzahlen zerlegen – egal wie groß oder klein sie ist. So ist die Zahl 4 das Produkt aus 2 x 2 – und damit zweimal der Primzahl 2. Aber auch große Zahlen wie beispielsweise 123.228.940 sind letztlich nur Produkte mehrerer Primzahlen: 2 x 2 x 5 x 23 x 79 x 3.391.

Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen ausdrücken. Die Knotenpunkte in diesem Diagramm zeigen die jeweiligen Primzahlpaare. © Adam Cunningham, John Ringland/ CC-by-sa 3.0

Und noch eine Zerlegung gibt es – die Goldbachsche-Vermutung. Sie gehört zu den berühmtesten ungelösten Problemen der Mathematik. Denn obwohl der Mathematiker Christan Goldbach sie bereits im Jahr 1742 aufstellte, ist ihre Gültigkeit bis heute nicht bewiesen oder widerlegt. Die Goldbachsche-Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl größer als zwei die Summer zweier Primzahlen sein muss. Seither haben Forscher aus aller Welt versucht, diese Regel für immer größere Zahlenräume nachzurechnen.

Bisher scheint die Goldbachsche Vermutung allen Tests standzuhalten. Aber ob sie auch für alle Zahlen bis unendlich gilt, konnte bisher niemand mathematisch beweisen. Ein im Jahr 2000 dafür ausgesetztes Preisgeld von einer Million US-Dollar wurde daher bisher nicht ausgezahlt.

Das Sieb des Eratosthenes

Doch wie finde ich heraus, ob eine beliebige Zahl eine Primzahl ist? Bei zwei- oder dreistelligen Zahlen ist dies noch relativ einfach: Ich versuche einfach, sie durch noch kleinere zu teilen. Kommen dabei keine glatten Ergebnisse heraus, handelt es sich um eine Primzahl. Eine weitere Methode hat schon der griechische Mathematiker Eratosthenes vor gut 2.300 Jahren zu seinem berühmten „Sieb“ verfeinert.

Das Sieb des Eratosthenes © Skopp/ CC-by-sa 3.0

Dafür schreibt man beispielsweise die Zahlen von 1 bis 100 auf ein Blatt Papier. Nun streicht man alle Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind – der kleinsten Primzahl. Als nächstes tut man das Gleiche mit allen Vielfachen von 3. Dieses Verfahren führt man nun nacheinander mit den nächstgrößeren Primzahlen durch. Der letzte Prüfdurchgang erfolgt dabei immer mit der Primzahl, deren Quadrat gerade noch kleiner ist als die höchste aufgeschriebene Zahl.

Hat man beispielsweise die Zahlen 1 bis 120 notiert, reicht es, das Sieben mit 2,3,5 und 7 durchzuführen. Das Quadrat der nächsten Primzahl, 11, ist 121 und damit bereits außerhalb unseres Zahlenraums. Soweit, so praktisch. Mit nur acht Filter-Durchgängen kann man mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis 400 aufspüren. Mit 168 Filterschritten immerhin alle Primzahlen bis einer Million – bis zum 1800 hatten Mathematiker diesen Zahlenbereich erfolgreich nach Primzahlen durchforstet.

Doch so gut das Sieb des Eratosthenes in kleineren Zahlenräumen funktioniert, so aufwändig wird es bei sehr viel größeren Zahlen. Die Identifizierung extrem großer Primzahlen ist heute selbst für leistungsstarke Computer eine echte Herausforderung…

Nadja Podbregar
Stand: 15.06.2018