Die Mathematik der Terminfindung

Alltagsproblem mathematisch betrachtet: Einen Termin für ein Meeting mit mehreren Teilnehmern zu finden, ist oft mühsam. Gibt es dafür vielleicht eine mathematische Lösung? Das haben nun drei Physiker untersucht – mit überraschenden Ergebnissen. Denn es gibt einen kritischen Punkt, ab dem es exponentiell schwieriger wird, einen für alle Teilnehmenden passenden Termin zu finden. Dieser „Phasenübergang“ liegt für eine typische 40-Stundenwoche bei einer Teilnehmerzahl von mehr als vier, wie das Team berichtet.

Im Berufsalltag vieler von uns spielen Meetings – ob persönlich oder per Zoom, Teams und Co – eine wichtige Rolle. Wir nutzen die Besprechungen zum Brainstormen, für Absprachen, Planung und den Informationsaustausch mit Kollegen oder um gemeinsam an einem Projekt zu arbeiten. Doch die Planung eines solchen Meetings kann schwierig sein: Im vollen Kalender noch eine Zeit zu finden, die für alle Teilnehmenden passt, ähnelt einem Puzzle.

Terminsuche mathematisch

Aber was steckt mathematisch hinter der Terminsuche? Gibt es möglicherweise eine Formel, die verrät, wann und warum es besonders schwierig ist, alle unter einen Hut zu bringen? Diese Frage haben Katherine Brown vom Hamilton College in New York und ihre Kollegen nun untersucht. „Wir entwickeln Gleichungen, die dabei helfen abzuschätzen, wann eine Terminsuche Erfolg haben kann“, erklärt das Physikerteam.

Für ihre Studie erarbeiteten Brown und ihr Team mathematische Gleichungen, um die Erfolgswahrscheinlichkeit in Bezug auf drei Faktoren zu ermitteln: die Zahl der Teilnehmenden (n), die Menge der möglichen Zeit-Slots (t) und den Anteil der Termine, an denen jeder Teilnehmende schon belegt ist (r). Jeder Teilnehmende hat demnach t – r Lücken im Kalender.

Exponentieller Anstieg

Das Ergebnis: Wie erwartet, hängt die Erfolgsquote bei der Terminsuche von allen drei Faktoren ab: Ist die Gesamtzahl der Zeitslots größer als die Zahl der Teilnehmenden mal ihrer belegten Termine (t>nr), wird es einen für alle passenden Termin für das Meeting geben. Ist das nicht der Fall, wird es hingegen komplexer. „Wenn die Zahl der Teilnehmenden wächst, steigt die Zahl der benötigten Zeitalternativen exponentiell“, erklärt Koautor Harsh Mathur von der Case Western Reserve University.

„Die einzige Strategie mit hundertprozentiger Erfolgschance ist es daher, die Zahl der insgesamt verfügbaren Termine so weit zu erhöhen, dass t > nr“, berichtet das Team. Das allerdings sei nicht wirklich praktikabel – schließlich hat die Arbeitswoche nur eine begrenzte Zahl von Stunden.

Ab vier Personen wird es schwierig

Was also gilt bei einer festen Anzahl verfügbarer Zeiten? Zur Überraschung der Physiker zeigten ihre Berechnungen in diesem Fall einen kritischen Punkt – einen rapiden Abfall der Erfolgschancen. Dieser Punkt zeigt sich als deutlicher Knick in der Wahrscheinlichkeitskurve. Den Berechnungen zufolge liegt dieser Umkipppunkt bei der Terminfindung bei 1/t^t/n – er greift demnach bei einer bestimmten Personenzahl, die abhängig ist von der Zahl der Gesamt-Zeitslots.

Doch was bedeutet das konkret für das Terminproblem? Gehen wir beispielsweise von 40 insgesamt verfügbaren Terminen pro Woche aus (t=40) – entsprechend den 40 Arbeitsstunden einer Vollzeitwoche. Jeder Meeting-Teilnehmende hat davon schon die Hälfte geblockt (r=20). Bei vier Teilnehmenden liegt dann die Wahrscheinlichkeit für ein Scheitern der Terminsuche bei 7,5 Prozent – ist also relativ gering. Doch schon eine Person mehr lässt diesen Wert auf 28 Prozent hochschnellen, wie Brown und ihr Team errechneten.

Bei einer 40-Stundenwoche ergibt sich damit: Bei mehr als vier Teilnehmenden sinken die Erfolgschancen für eine Terminfindung deutlich. Mit jeder weiteren Person wird es überproportional schwieriger.

Wie ein physikalischer Phasenübergang

Für Brown und ihr Team ist an diesen Berechnungen aber noch etwas anderes interessant – und überraschend: Der abrupte Absturz der Erfolgschancen ähnelt einem Phasenübergang in der Physik, wie die Forschenden erklären. Ein Phasenübergang kennzeichnet einen abrupten Wechsel des Zustands, beispielsweise den Gefrierpunkt von Wasser. Erkennbar ist dies in entsprechenden Diagrammen als plötzlicher Anstieg oder Abfall der Kurve.

Ähnliches zeigt auch die Kurve der Erfolgswahrscheinlichkeit bei der Terminsuche. „Es ist faszinierend, dass etwas so Alltägliches wie die Terminfindung der Komplexität eines Phasenübergangs gleicht“, sagt Mathur. (The European Physical Journal B, 2024; doi: 10.1140/epjb/s10051-024-00742-z)

Quelle: Case Western Reserve University