Eine neue Formel für die Kreiszahl π

Kreiszahl mal anders: Physiker haben einen neuen mathematischen Weg zur Kreiszahl Pi entdeckt – durch puren Zufall. Eigentlich waren sie auf der Suche nach einer Formel, mit der sich die Amplitude schwingender Strings berechnen lässt. Doch dabei stießen sie auch auf eine neue mathematische Reihenformel zur Berechnung von π. Diese Formel erlaubt eine relativ schnelle Annäherung an den Wert der Kreiszahl.

Die Kreiszahl π ist eine universelle Naturkonstante. Sie beschreibt nicht nur das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser, sondern spielt auch bei vielen physikalischen Phänomenen eine Rolle – von Schwingungen bis zur Heisenbergschen Unschärferelation. Mathematisch ist Pi ebenfalls nahezu allgegenwärtig, aber gleichzeitig schwer zu fassen. Denn die irrationale, transzendente Zahl hat unendlich viele, scheinbar willkürlich aufeinanderfolgende Nachkommastellen.

Annäherung an Pi

Berechnet werden die Nachkommastellen der Kreiszahl meist über verschiedene Näherungen beispielsweise in Form mathematischer Summenformeln (Reihen). Eine der ältesten Reihen-Repräsentationen von Pi wurde vor mehr als 600 Jahren vom indischen Mathematiker Sangamagrama Madhava entwickelt. Seine Summenformel nähert sich der Kreiszahl durch eine abwechselnd addierte und subtrahierte Abfolge aller Brüche mit ungeraden Nennern – allerdings benötigt sie Millionen Brüche, um dem Wert von Pi nahezukommen.

Doch jetzt haben zwei indische Physiker eine weit kürzere, einfachere Reihenformel entdeckt, mit der man Pi ermitteln kann – durch Zufall. „Unser Ziel war es nie, eine neue Sicht auf Pi zu erhalten. Stattdessen haben wir die Quantentheorie genutzt, um ein Modell mit weniger und präziseren Parametern für die Interaktion von Teilchen zu entwickeln“, erklärt Aninda Sinha vom Indischen Zentrum für Hochenergiephysik in Bangalore.

Schwingende Strings und die Eulersche Betafunktion

Konkret suchten Sinhan und sein Kollege Arnab Piiya Saha nach einem Weg, um die Schwingungsamplituden von Strings zu berechnen – den hypothetischen „Fädchen“, die der Stringtheorie nach die Basis aller Elementarteilchen im Kosmos bilden. Wie diese Strings schwingen bestimmt dabei die Merkmale der Teilchen wie ihre Energie und Masse. „Die String-Feldtheorie deutet auf die Existenz einer feldähnlichen Repräsentation der Stringamplituden hin, die nicht nur bei niedrigen Energien funktioniert, sondern auch bei höheren Massen“, erklären die Physiker.

Auf der Suche nach dieser Gleichung griffen Sinha und Saha auf zwei physikalisch-mathematische Werkzeuge zurück. Das erste ist die Eulersche Betafunktion, eine Funktion zweier komplexer Zahlen, mit der sich auch einfachere Stringamplituden berechnen lassen, wie die Forscher erklären. Dies kombinierten sie mit dem Feynman-Diagramm, das den Energieaustausch zwischen zwei interagierenden Teilchen beschreibt. Im Laufe ihrer komplexen mathematischen Berechnungen gelang es den Physikern schließlich, die gesuchte Lösung für die String-Beschreibung zu finden.

Eine neue Reihe für Pi

Doch das war nicht alles: Saha und Sinha entdeckten dabei auch eine neue Formel für die Kreiszahl Pi. Diese Summenformel oder Reihe ist verwandt mit der Madhava-Reihe, aber weit effizienter. „Während die Madhava-Reihe fünf Milliarden Terme benötigt, um auf zehn Dezimalstellen zu kommen, schafft es diese für Lambda-Werte zwischen 10 und 100 in 30 Termen“, schreiben die Physiker. Die Kombination der Parameter in dieser Summenformel ermögliche es, den Wert von Pi schnell zu ermitteln und in Gleichungen einzufügen.

„Physiker (und Mathematiker) haben dies bisher übersehen, weil sie nicht die richtigen Berechnungswerkzeuge hatten“, erklärt Sinha. Auch er und sein Team haben diese erst im Laufe der letzten drei Jahre entwickelt. „In den frühen 1970er Jahren hatten Forscher sich diesen Ansatz schon einmal angeschaut, ihn aber schnell wieder aufgegeben, weil er zu kompliziert war.“ Inwieweit die neue Formel in der Praxis Vorteile bringt, muss sich noch zeigen. In jedem Fall ist sie aber ein weiterer Weg, um sich dieser irrationalen Zahl anzunähern. (Physical Review Letters, 2024; doi: 10.1103/PhysRevLett.132.221601)

Quelle: Indian Institute of Science (IISc)