Mathematischer Beweis: Für eine präzise Navigation per GPS sind mindestens fünf Satelliten nötig, wie Wissenschaftler erstmals berechnet haben. Denn nur dann ist sichergestellt, dass die ungenauere Zeitmessung des Empfängers sowie ungünstige Positionen der Satelliten ausgeglichen werden können. Derzeit ist auf der Erde in der Regel jedoch nur der Kontakt zu vier Satelliten gleichzeitig sichergestellt. Die Ortung per GPS ist damit noch ausbaufähig.
Satelliten-Navigationssysteme wie das Global Positioning System (GPS) sind für die meisten von uns heute selbstverständlich. Wir nutzen sie beispielsweise, um auf einer digitalen Karte den kürzesten Weg von unserem Standpunkt zu einer gewünschten Adresse zu suchen – etwa zur nächsten Haltestelle oder zum verabredeten Treffpunkt – oder uns direkt dorthin navigieren zu lassen.
Möglich machen dies mit extrem präzisen Atomuhren ausgestattete Satelliten, die im Orbit kreisen und uns über Radiowellen kontinuierlich ihre Position mitteilen. Empfangsgeräte auf der Erde wie Handys oder andere Navigationsgeräte berechnen aus der Sende- und Empfangszeit, wie lange die Funkwellen unterwegs waren und wie groß die Distanz zum Satelliten ist. Über ein Gleichungssystem wird daraus dann die Position des Empfängers bestimmt.
Das Problem des Empfängers
Das Problem jedoch: Die lokale Uhr des GPS-Empfängers ist keine Atomuhr. Geht sie nur eine Millionstel Sekunde falsch, entsteht bei der Positionsbestimmung eine Ungenauigkeit von mindestens 300 Metern. Dies wird dadurch ausgeglichen, dass alle eintreffenden Satellitensignale und ihre mitgelieferten Zeitstempel vom Empfänger mit der gleichen Abweichung verrechnet werden. Um das Ausmaß dieser Abweichung zu ermitteln, muss das System jedoch die Signale mehrerer Satelliten vergleichen.
„Man ging daher von der Annahme aus: Je mehr Satelliten beteiligt sind, desto besser“, erklären Mireille Boutin von der Technischen Universität Eindhoven und Gregor Kemper von der Technischen Universität München. In der Praxis kommt es jedoch häufiger vor, dass das Navigationssystem nicht genügend Satellitensignale empfangen kann – entweder weil die GPS-Satelliten ungünstig stehen oder ihr Signal durch ionosphärische Turbulenzen, Häuser oder Schluchten abgelenkt wird.
Geometrischer Beweis
Aber wie viele GPS-Satelliten werden minimal benötigt, um die Position eines Handys oder anderen Navigationsgeräts exakt zu bestimmen? Dies haben Boutin und Kemper nun mathematisch berechnet. „Das war nicht ganz einfach: Tatsächlich haben wir über ein Jahr an dem Problem gearbeitet, bis wir so weit waren“, sagt Kemper. Gelungen ist den Forschenden der mathematische Beweis erstmals, indem sie das GPS-Problem geometrisch charakterisierten.
Sie fanden heraus, dass die Position des Empfängers nicht eindeutig bestimmt werden kann, wenn die Satelliten auf einer gekrümmten, geöffneten Fläche angeordnet sind – oder mathematisch gesprochen: wenn sie auf einem sogenannten zweischaligen Rotationshyperboloid liegen. Diese Form ähnelt zwei Schalen, deren Böden einander zugekehrt sind. Für die Geometrie der Satelliten und des Empfängers bedeutet dies, dass dabei Satelliten in gleicher Sichtlinie hintereinander liegen. Ihre Signale liefern damit redundante räumliche Informationen.
Aktuelle Satellitenzahl reicht nicht aus
Mit diesem Ansatz kamen die Mathematiker zu dem Ergebnis, dass der Standort in den allermeisten Fällen erst ab einer Anzahl von fünf Satelliten genau bestimmt werden kann. Denn dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Satelliten in gleicher Sichtlinie stehen und es dadurch weniger als drei unterschiedliche „Blickwinkel“ gibt, sehr gering. „Auch wenn das schon lange vermutet wurde, hatte es zuvor niemand geschafft, einen Beweis zu finden“, so Kemper.
Derzeit ist an jedem Punkt der Erde zu jeder Zeit der Kontakt zu vier Satelliten sichergestellt, wie die Forschenden berichten. Das reicht demnach nicht für eine zuverlässige und exakte GPS-Ortung. „Bei nur vier Satelliten scheint es ganz grob gesprochen so zu sein, dass die Wahrscheinlichkeit für eine eindeutige Lösbarkeit des GPS-Problems bei 50 Prozent liegt“, sagt Kemper. Bei drei oder weniger Satelliten im Sichtbereich funktioniert GPS-Navigation definitiv nicht. Dann hilft nur warten, bis wir oder die Satelliten ihre Position geändert haben.
Besseres Verständnis für Nachteile des GPS
Die theoretischen Berechnungen ermöglichen es nun, Ungenauigkeiten in der Positionsbestimmung per GPS besser zu verstehen. Präziser als GPS ist übrigens das neue TNPS-System. Es nutzt den lokalen Mobilfunk und das Glasfasernetz, um mittels zeitsynchronisierter Signale eine bis auf zehn Zentimeter genaue Ortung zu gewährleisten. (Advances in Applied Mathematics, 2024; doi: 10.1016/j.aam.2024.102741)
Quelle: Technische Universität München
